Initiation à la systémique

G. Beuchot  - 8/07/2004

 9.      Approche Système :

 Décomposition des systèmes

Dans les chapitres précédents, en particulier dans les parties traitant de l’analyse des systèmes nous avons insisté sur leur décomposition, en général arborescente, voire hiérarchique, soit en activités et fonctions soit en sous-ensembles et composants.

Nous avons admis implicitement que cette décomposition était toujours possible. Cependant une analyse fine des fonctionnalités ou des éléments d’un système complexe montre que ces fonctions ou ces composants peuvent interagir plus ou moins fortement et qu’il n’est pas toujours simple de décomposer un système, certains systèmes pouvant même apparaître à priori comme non décomposables….

9.1     Quasi-décomposabilité

Si nous considérons un système décomposé en sous-systèmes et composants, nous pouvons distinguer entre interactions internes à un sous-système, entre ses composants, et interactions entre sous-systèmes. Ces interactions aux différents niveaux sont en générale d’ « amplitudes » différentes. Ainsi dans une organisation, il y aura en général plus d’interactions entre deux membres d’un même service qu’entre deux membres de services différents (au moins si ne nous considérons que les fonctions propres à l’organisation). Cependant les membres chargés des relations entre services peuvent ne pas répondre à cette règle….. De même, dans la matière organique, les forces intermoléculaires sont plus faibles que les forces moléculaires elles-même plus faibles que les forces nucléaires.

Dans certains systèmes, par exemple un gaz rare, les composants ont un comportement quasi indépendant et un tel système peut être considéré comme décomposable.

Si les interactions entre sous-systèmes ou composants sont faibles mais non négligeables, nous ferons appel à la théorie des systèmes quasi-décomposables. (voir Herbert A. Simon , Les Sciences de l’artificiel 2004 Folio essais)

Dans un système quasi-décomposable :

Cet énoncé des propriétés des systèmes quasi-décomposables fait reposer ceux-ci sur l’analyse de leur évolution temporelle. Toutefois ce qui importe essentiellement c’est la quantité ou la qualité des interactions entre les composants et nous pouvons trouver des propriétés analogues au niveau fonctionnel.  et en tirer une méthode pour décomposer des systèmes complexes en vue de faciliter leur spécification.

  Nous allons donc étudier comment peut se caractériser le comportement temporel d’un système puis comment un système quasi-décomposable peut être peut être séparé en parties faiblement liées.

9.2      Evolution temporelle et quasi-décomposabilité

9.2.1         Réponse temporelle et constante de temps

Considérons un système simple, par exemple un radiateur de chauffage. On admet que l’apport d’énergie (électrique par exemple) est quasi instantané et que la déperdition de chaleur est proportionnelle à l’écart de température avec le milieu ambiant.

On observe son élévation de température lorsque l’on applique à un instant donné un flux d’énergie constant. Les courbes ci-contre montre cette élévation pour trois systèmes présentant des « inerties thermiques » différents. Ces courbes ont la même allure (exponentielle). Elles atteignent le même niveau d’équilibre qui correspond à l’égalité du flux d’énergie fournie et dissipée. .Elles sont caractérisées par un seul paramètre,: la vitesse de montée en température, qui peut être représentée par le temps mis pour atteindre environ 63% de la valeur finale (1-1/e). Cette valeur est la « constant de temps » de ce système. Dans ces exemples, elles valent  respectivement 1,3 et 5.

On peut aussi appliquer en entrée une quantité d’énergie élevée durant un temps très court. On observe alors les réponses ci-contre. Dans cet exemple, la surface sous chaque courbe est identique et correspond à l’énergie appliquée à l’entrée. Le temps de décroissance, de retour à l’état initial, est caractéristique de la « constante de temps » du système.

D’une manière générale, un système dont l’évolution temporelle s’exprime par une fonction continue du temps peut être modélisé par un système d’équations différentielles en fonction du temps. Si on applique à l’entrée d’un tel système une « impulsion » (signal de durée nulle et d’énergie finie …) la sortie obtenue est caractéristique du système seul et est appelée « réponse impulsionnelle ». On peut montrer que cette réponse impulsionnelle permet d’exprimer la sortie pour tout signal en entrée. On peut aussi caractériser un système par sa réponse indicielle correspondant à un signal « échelon » en entrée (intégrale de l’entrée impulsionnelle)

Pour un système linéaire simple, tel que celui décrit ci-dessus, l’évolution de la sortie y en fonction d’une entrée x peut s’exprimer par  

où  t   est la « constante de temps » du système. Elle représente, dans le cas de la réponse indicielle, le temps mis pour atteindre 1/e (@ 37%) de la valeur finale.

Pour un système à plusieurs variables, chacune est caractérisée par sa constante de temps propre. Si ces constantes de temps sont du même ordre de grandeur, les variables peuvent interagir fortement (voir exemple « écologique») . Si elles sont suffisamment différentes, l’évolution temporelle d’une variable influe peu sur l’autre et nous retrouvons le critère de quasi-décomposabilité exprimé ci-dessus.

De même si un système simple est modélisé par une équation différentielle d’ordre n > 1, il est caractérisé par n constantes de temps correspondant à une évolution temporelle à différentes échelles de temps. Parfois, dans ce cas, une constante de temps est prépondérante pour le phénomène étudié et le système pourra être simplifié. Le cas ci-contre illustre un système du second ordre. On voit que l’élévation est d’abord lente, s’accélère puis ralentit. La courbe en pointillé donne la variation de la vitesse d’évolution (dérivée). Ce système est caractérisé par deux constantes de temps (ici 1 et 5 …)

Une autre manière d’exprimer les sorties d’un système en fonction de ses entrées est d’utiliser sa « fonction de transfert ». Selon le formalisme choisi celle-ci s’exprime par la Transformée de Fourier ou de Laplace de la réponse impulsionnelle. On est alors amené à étudier la réponse du système dans l’espace des fréquences et à distinguer les fréquences basses correspondant aux constantes de temps élevées des fréquences hautes correspondant à de courtes constantes de temps.

9.2.2        Quasi-décomposabilité d’après l’évolution temporelle du système

Cette quasi-décomposabilité est illustrée par l’exemple suivant donné par H.A. Simon : Herbert A. Simon , Les sciences de l'artificiel pp 343-344

Nous pouvons décrire formellement le processus de cet équilibre à l' aide des équations habituelles des flux de chaleur. Ces équations peuvent être représentées par la matrice de leurs coefficients r_ii, où r_ii est le taux auquel la chaleur est transférée pour un degré de différence de la i^e à la j^e cellule. Si les cellules i et j n’ont pas de cloison commune, r_ij sera nul. Si les cellules i et j ont une cloison commune et sont dans la même pièce, r_ij sera grand. Si les cellules i et j sont séparées par la paroi d 'une pièce, r_ij sera différent de zéro, bien que très petit. De ce fait, en regroupant toutes les cellules qui sont dans une même pièce nous pouvons disposer la matrice des coefficients de telle façon que tous les grands nombres soient à l'intérieur d'un groupe de sous-matrices carré le long de la diagonale principale. Tous les éléments à l'extérieur de ces carrés en diagonale seront ou nuls, ou petits (voir ci-dessous). Nous pouvons toujours trouver un nombre petit, qui constituera la limite supérieure de la valeur de ces éléments hors de la bande diagonale. Nous appellerons la matrice ayant ces propriétés une matrice quasi décomposable.