G. Beuchot - 3/05//2004

7. Analyse et comportement d’un système bouclé :

Un système écologique

Nous considérons un système écologique consistant en un élevage de poissons « nobles » dans un lac.

Le système considéré est composé d’un ensemble de poissons carnassiers se nourrissant de poissons herbivores. Ceux-ci peuvent se nourrir du flux de nourriture naturelle poussant dans le lac éventuellement complémenté par un apport de graines.

7.1 Analyse du système

Objectif :

Produire une certaine quantité de poissons carnassiers avec la flore du lac et éventuellement un complément de nourriture végétale.

Environnement :

L’environnement du système est constitué par le lac, sa flore et cette nourriture ajoutée.

La sortie du système consiste en le prélèvement des poissons carnassiers, sauf quelques reproducteurs, après une période d’élevage.

A l’instant initial le lac est alimenté en une certaine masse de poissons herbivores et une petite quantité de poissons carnassiers.

Analyse fonctionnelle :

	Nourrissage naturel des poissons herbivores
	Nourrissage des poissons carnassiers par prélèvement naturel de poissons herbivores

Éventuellement

	Nourrissage artificiel des poissons herbivores
	Détermination de la quantité de nourriture à ajouter

Analyse organique :

	Ensemble des poissons herbivores
	Ensemble des poissons carnassiers

Analyse des interactions :

Entre environnement et poissons herbivores

	Manger de la nourriture naturelle
	Manger de la nourriture ajoutée

Entre poissons herbivores et poissons carnassiers

Manger des poissons herbivores

Entre environnement et poissons carnassiers

Prélever des poissons carnassiers en fin de processus

7.2 Comportement - Évolution temporelle.

Les poissons herbivores croissent et se reproduisent en fonction de la nourriture disponible et de leur nombre (reproduction). Leur nombre est limité par le prélèvement opéré par les poissons carnassiers.

De même les poissons carnassiers croissent et se reproduisent en fonction de la quantité de nourriture disponible (poissons herbivores) et de leur nombre (reproduction).

Nous n’étudions pas le prélèvement mais seulement la croissance des deux populations de poissons.

Celui-ci peut être modélisé de manière simplifiée par un système d’équations différentielles du premier ordre que nous n’expliciterons pas ici, mais qui sera simulé pour montrer les comportement temporel du système.

Le comportement d’un tel système est très dépendant des valeurs des paramètres choisis. Dans nos exemple ceux-ci ont été choisi pour donner des comportements vraisemblables et seulement à titre illustratif. Nous ne discuterons pas de leur bien fondé …..

7.3 Évolution sans intervention : homéostasie.

On ne fournit aucune nourriture supplémentaire

Les deux courbes ci-dessous montre l’évolution du nombre des deux catégories de poisson pour deux valeurs du taux de croissances des poissons herbivores en fonction du flux de nourriture. Les autres paramètres sont identiques.

Les poissons carnassiers sont représentés en bleu et les poissons herbivores en rouge.

On remarque que ce système aboutit à un équilibre naturel après une période de croissance plus ou moins oscillatoire.

La quantité de poissons carnassiers croît avec un certain retard par rapport à la croissance des poissons herbivores. Lorsque les poissons carnassiers sont trop nombreux, le prélèvement de poissons herbivore est trop élevé ce qui conduit à faire baisser la population de ceux ci puis des carnassiers. Il y a donc un effet de rétroaction négative naturelle (feedback) qui abouti à l’équilibre du système.

7.4 Nourrissage supplémentaire : rétroaction négative (feedback)

Dans ce cas on donne un apport supplémentaire de nourriture durant le début du nourrissage, puis on supprime cet apport lorsque le niveau des populations de carnassiers atteint une valeur donnée, ici la valeur 20 , proche du maximum observé pour le nourrissage naturel. Dès que le niveau de population descend sous ce seuil, l’apport complémentaire est à nouveau fourni. On observe une réponse ondulatoire amortie qui permet de maintenir la population de carnassiers à la valeur désirée. Cette rétroaction négative (contre réaction) permet de réguler de manière très efficace le niveau de population.

7.5 Rétroaction positive

La technique consiste, non pas comme ci-dessus, à réguler de manière forte la population de carnassiers ( et d’herbivores) en diminuant la nourriture lorsqu’elle s’accroît trop, mais au contraire de fournir relativement plus de nourriture pour tenter d’accroître les populations de poissons.

7.4.1 Nourrissage constant lorsqu’un seuil est atteint.

Dans ce cas on accroît la nourriture ajoutée dès que la population de carnassiers approche de la valeur maximale qu’elle atteindrait avec le seul apport naturel (ici 20). On note bien un changement de pente dans l’évolution des populations. Cet apport, assez faible, permet d’accroître de manière importante les deux populations de poissons. Cependant il est difficile à maîtriser comme nous le verrons ci-dessous.

7.4.2 Nourrissage proportionnel à la population de carnassiers

Avec les coefficients utilisés on obtient le même équilibre que dans le cas précédent mais avec une croissance plus rapide et plus régulière.

7.4.3 Un équilibre précaire

Dans les deux cas précédents, on augmente de 30% environ le taux de rétroaction positive. On observe que les populations augmentent de manière illimitée : le modèle n’est plus réaliste car le volume du lac serait très rapidement rempli par les poissons.

Si on augmente ce coefficient de 100% (doublement), l’évolution devient explosive.